1872年（C.）F.克莱因在埃尔朗根大学的教授就职演讲时，提出题为《关于近代几何研究的比较考察》的论文，论述了变换群在几何中的主导作用，把到当时为止已发现的所有几何统一在变换群论观点之下，明确地给出了几何的一种新定义，把几何定义为一个变换群之下的不变性质。这种观点突出了变换群在研讨几何中的地位，后来简称为《埃尔朗根纲领》。
给定任意几何对象的集合M，约定把集合M叫做空间。把M中的每个几何对象（或称为元素）变到另一个几何对象上的过程称为M上的一个几何变换，简称变换。以α表示某一几何对象或由许多对象所构成的图形，以T 表示一个几何变换，则在T之下把α变到另一个对象或图形b，记作T(α)=b，b称为α的像，α称为b的像源。
另取一个变换S作用到b上，设S(b)=c，若这两个变换连续作用，则α变到с，所以α变到с的过程也是一个变换，记作P，即P(α)=с。P称为S和T的乘积，记作P=ST。变换乘积的次序一般是不可交换的，即ST≠TS。
若有三个变换T、S、R，先作用T，其次作用S，最后作用R，其结果是RST，这个记号表示作用的次序是从右边到左边。变换乘积的结合律是成立的:(RS)T=R(ST)=RST。若变换T，使得每个元素b都是惟一的某个元素α的像，则称T为一对一的变换，这时，T有确定的逆变换，记作T-1，T与T-1的乘积保持每个元素都不动，也就是恒等变换，记作E，即TT-1=T-1T=E。